الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$

خطوة 1

حلّل $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

خطوة 1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$- 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

خطوة 1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$- 4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

خطوة 1.3.4

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$- 4 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 9$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 4 - 8 + 3 \cdot 1 + 9$

خطوة 1.3.6

اطرح $8$ من $- 4$ .

$- 12 + 3 \cdot 1 + 9$

خطوة 1.3.7

اضرب $3$ في $1$ .

$- 12 + 3 + 9$

خطوة 1.3.8

أضف $- 12$ و $3$ .

$- 9 + 9$

خطوة 1.3.9

أضف $- 9$ و $9$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9}{x - 1}$

خطوة 1.5

اقسِم $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$9$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 12 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 12 x^{2} + 12 x$

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 9 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	+	$9$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 9 x + 9$

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- 4 x^{2} - 12 x - 9$

خطوة 1.6

اكتب $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ في صورة مجموعة من العوامل.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ ومجموعهما $b = - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $- 12$ من $- 12 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

خطوة 2.1.1.2

أعِد كتابة $- 12$ في صورة $- 6$ زائد $- 6$

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} + (- 6 - 6) x - 9)$

خطوة 2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 6 x - 6 x - 9)$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f (x) = (x - 1) ((- 4 x^{2} - 6 x) - 6 x - 9)$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f (x) = (x - 1) (2 x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3))$

خطوة 2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 2 x - 3$ .

$f (x) = (x - 1) ((- 2 x - 3) (2 x + 3))$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x - 3) (2 x + 3)$